Question

(本小题满分12分) 已知各项均为正数的数列满足: （），且.
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）证明:（）
（Ⅲ）若，令，设数列的前项和为（），试比较与的大小.

Answer 1

(1)略
(2)

．解:（Ⅰ）∵，
（法一,即
又,所以有,所以，法二 令
则有，可得）
∴  所以数列是公比为2的等比数列 （2分）
由得,解得
故数列的通项公式为  （4分）
（Ⅱ）①当时，,上面不等式显然成立；（5分）
②假设当时，不等式成立
当时，

综上①②对任意的均有   （8分）
（Ⅲ）因，所以
即数列是首项为4,公比是4的等比数列  （9分）
所以，  （10分）
又∴－＝－
＝
所以对任意的均有  （12分）