Question

已知圆x²＋y²＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．

(1)求线段AP中点的轨迹方程；

(2)若∠PBQ＝90°，求PQ中点的轨迹方程．

Answer 1

解：(1)设AP中点为M(x，y)，由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．

∵P点在圆x²＋y²＝4上，

∴(2x－2)²＋(2y)²＝4.

故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)²＋y²＝1.

 (2)设PQ的中点为N(x，y)，

在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，

设O为坐标原点，连结ON，则ON⊥PQ，

所以|OP|²＝|ON|²＋|PN|²＝|ON|²＋|BN|²，

所以x²＋y²＋(x－1)²＋(y－1)²＝4.

故PQ中点N的轨迹方程为x²＋y²－x－y－1＝0.