Question

已知：不等式x²-log_mx＜0．在0＜x ＜

1

2

上恒成立，则实数m的取值范围是

1

16

≤m＜1

．

Answer 1

分析：根据不等式x²-log_mx＜0，在0＜x ＜

1

2

上恒成立，可转化为x²＜log_mx，在0＜x ＜

1

2

上恒成立，然后结合图形，考虑零界位置可求出m的范围．

解答：解：不等式x²-log_mx＜0，在0＜x ＜

1

2

上恒成立，
转化为x²＜log_mx，在0＜x ＜

1

2

上恒成立，
即x∈（0，

1

2

）时，
函数f（x）=x²的图象恒在g（x）=log_mx的图象的下方．
由图象可知0＜m＜1，若x=

1

2

时，两图象相交，
即 (

1

2

)2=logm

1

2

，解得m=

1

16

，所以m范围为

1

16

≤m＜1
故答案为：

1

16

≤m＜1

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，同时考查了转化的思想和数形结合的思想，属于中档题．