Question

已知向量

a

=（sinx，

3

2

），

b

=（cosx，-1），
（Ⅰ）当

a

∥

b

时，求tan2x的值；
（Ⅱ）求函数f（x）=（

a

+

b

）•

b

在[-

π

2

，0]上的值域．

Answer 1

分析：（I）根据向量平行的条件，建立关于x的等式解出sinx=-

3

2

cosx，从而算出tanx=-

3

2

，再利用二倍角的正切公式，即可算出tan2x的值；
（II）根据向量数量积的坐标公式与三角恒等变换公式，化简得f（x）=（

a

+

b

）•

b

=

2

2

sin（2x+

π

4

），再根据x∈[-

π

2

，0]利用正弦函数的图象与性质加以计算，可得所求函数值域．

解答：解：（Ⅰ）∵

a

∥

b

，

a

=（sinx，

3

2

），

b

=（cosx，-1），
∴sinx•（-1）-

3

2

•cosx=0，
即sinx+

3

2

cosx=0，
得sinx=-

3

2

cosx，
由此可得tanx=

sinx

cosx

=-

3

2

，
∴tan2x=

2tanx

1-tan2x

=

12

5

；
（Ⅱ）∵

a

=（sinx，

3

2

），

b

=（cosx，-1），
∴

a

•

b

=sinxcosx-

3

2

，

b

2=cos²x+（-1）²=cos²x+1，
f（x）=（

a

+

b

）•

b

=

a

•

b

+

b

2=sinxcosx-

3

2

+cos²x+1=

1

2

sin2x+

1

2

（1+cos2x）-

1

2

=

2

2

sin（2x+

π

4

），
∵x∈[-

π

2

，0]，可得2x+

π

4

∈[-

3π

4

，

π

4

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）∈[-

1

2

，

2

2

]．
即函数f（x）=（

a

+

b

）•

b

在[-

π

2

，0]上的值域为[-

1

2

，

2

2

]．

点评：本题着重考查了向量平行的条件、同角三角函数的基本关系与二倍角的三角函数公式、两角和与差的三角函数公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．