Question

7．如果数列{a_n}满足a₂=$\frac{1}{2014}$，且对任意不相等的正整数n，m，都有$\frac{{a}_{n}{a}_{m}}{{a}_{m}+{a}_{n}}$=$\frac{1}{n+m}$，则a₂₀₁₄=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 通过对$\frac{{a}_{n}{a}_{m}}{{a}_{m}+{a}_{n}}$=$\frac{1}{n+m}$变形，整理可得$\frac{1}{{a}_{n}}$=n+（m-$\frac{1}{{a}_{m}}$），利用a₂=$\frac{1}{2014}$代入计算即得结论．

解答 解：∵$\frac{{a}_{n}{a}_{m}}{{a}_{m}+{a}_{n}}$=$\frac{1}{n+m}$，
∴$\frac{{a}_{m}+{a}_{n}}{{a}_{m}{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+$\frac{1}{{a}_{m}}$=n+m，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=n+（m-$\frac{1}{{a}_{m}}$），
又∵a₂=$\frac{1}{2014}$，
∴2-$\frac{1}{{a}_{2}}$=2-2014=-2012，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=n+（2-$\frac{1}{{a}_{2}}$）=n-2012，
∴a_n=$\frac{1}{n-2012}$，
∴a₂₀₁₄=$\frac{1}{2014-2012}$=$\frac{1}{2}$，
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查求数列的通项，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．