Question

设直线y=x+2与抛物线y=ax²（a＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，过点M作x轴的垂线交抛物线于点N．
（Ⅰ）证明：抛物线在N点处的切线与AB平行；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得NA⊥NB？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）将直线的方程y=x+2代入抛物线的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用导数的几何意义即可求得切线的斜率，从而解决问题抛物线在N点处的切线与AB平行的问题；
（Ⅱ）对于存在性问题，可先假设存在，即假设存在实数a，使得NA⊥NB，再利用M是线段AB的中点及AB的长，列出方程求出a值，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．

解答：解：（Ⅰ）由

y=x+2 y=ax2

得ax²-x-2=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

1

a

，x1x2=-

2

a

•xN=xM=

x1+x2

2

=

1

2a

，yN=a

x

2 N

=

1

4a

•
由y′=（ax²）′=2ax知，抛物线在N点处的切线的斜率为2a•

1

2a

=1，
因此，抛物线在点N处的切线与直线AB平行．
（Ⅱ）假设存在实数a，使NA⊥NB．
由M是线段AB的中点，∴|MN|=

1

2

|AB|．
由MN⊥x轴，知|MN|=|

1

2a

+2-

1

4a

|=

1

4a

+2，
又|AB|=

2

•|x1-x2|=

2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

2

•

1 a2 + 8 a

，(

1

4a

+2)2=

1

4

×2×(

1

a2

+

8

a

)，解得a=

7

8

或a=-

1

8

（舍去）．
存在实数a=

7

8

，使得NA⊥NB．

点评：此题主要考查了二次函数解析式的确定、直线与圆锥曲线的综合问题等知识；需要注意的是（2）题中存在性问题的证明方法，即对于存在性问题，可先假设存在，求出参数，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．