Question

【题目】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

试题（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得 ．设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标．

试题解析：

（Ⅰ）依题意，不妨设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，

令，解得，故，

又，

∴，

∴，

解得．

∴椭圆的标准方程为.

（Ⅱ）证明：

由题意设直线的方程为，

由消去y整理得，

设，，

则，，

假设x轴上的定点为，

则

.

要使其为定值，需满足，

解得.

故定点的坐标为.