Question

3．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2acosC+c=2b．
（1）求角A的大小；
（2）若a²=3bc，求tanB的值．

Answer 1

分析 （1）根据2acosC+c=2b，由正弦定理结合和角的正弦公式化简，即可求角A的大小；
（2）由A=$\frac{π}{3}$及余弦定理得b²+c²-bc=a²=3bc，可得$\frac{b}{c}$=2±$\sqrt{3}$，再分类求解，即可求tanB的值．

解答 解：（1）∵2acosC+c=2b，
∴由正弦定理得2sinAcosC+sinC=2sinB
=2sin（A+C）=2（sinAcosC+cosA sinC），
即sinC（2cosA-1）=0．
∵sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
从而得A=$\frac{π}{3}$；                  
（2）由A=$\frac{π}{3}$及余弦定理得b²+c²-bc=a²=3bc，
即b²+c²-4bc=0，
∴$\frac{b}{c}$=2±$\sqrt{3}$，
当$\frac{b}{c}$=2+$\sqrt{3}$时，
又sinC=sin（$\frac{2π}{3}$-B）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB+$\frac{1}{2}$sinB，
故$\frac{b}{c}$=$\frac{sinB}{sinC}$=$\frac{tanB}{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}tanB}$=2+$\sqrt{3}$，
∴tanB=-2-$\sqrt{3}$，
当$\frac{b}{c}$=2-$\sqrt{3}$时，同理得tanB=2-$\sqrt{3}$，
综上所述，tan B=-2-$\sqrt{3}$或2-$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查正、余弦定理、三角变换，同时考查运算求解能力，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．