题目内容

如图所示，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量
AP
=m
AB
+n
AF
（m、n为实数），则m+n的最大值为
 
．
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：连接AE会发现它与AB垂直，所以构造
AP
•
AE
，将条件中的
AP
=m
AB
+n
AF
带人，便会得到
AP
•
AE
=m
AB
•
AE
+n
AF
•
AE
，而
AB
•
AE
=0，所以经过化简就可得到
AP
•
AE
=6n．同样的办法你会得到
AP
•
AC
=6m，显然得到的这两式需相加便经过化简得到m+n=|
AP
|cos∠PAO，而这正好是
AP
在
AO
方向上的投影，所以求这个投影的最大值即可，而投影的最大值，通过图形就能得到．
解答： 解：如图所示，
AP
=m
AB
+n
AF
．
∴
AP
•
AE
=m
AB
•
AE
+n
AF
•
AE
=n
AF
•
AE
=n|
AF
||
AE
|cos∠FAE=6n    ①
同理，
AP
•
AC
=6m        ②
①+②得：
AP
•(
AE
+
AC
)=6(m+n)；
∵
AE
+
AC
=2
AO
，∴2
AP
•
AO
=6(m+n)．
∵
AP
•
AO
=|
AP
||
AO
|cos∠PAO=3|
AP
|cos∠PAO．
∴m+n=|
AP
|cos∠PAO，其几何意义就是
AP
在
AO
上的投影．
∴求m+n的最大值就转化为求
AP
在
AO
上投影最大值．
从图形上可以看出：当点Q和D点重合时，
AP
在
AO
上的投影取到最大值5．
点评：本题需注意的是构造两组数量级，将求m+n的最大值转化为求
AP
在
AO
方向上投影的最大值．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=lnx，g（x）=
1
2
ax2-2x
（Ι）若曲线y=f（x）-g（x）在x=1与x=
1
2
处的切线相互平行，求实数a的值．
（Ⅱ）若函数y=f（x）-g（x）在（
1
3
，1）上单调递减，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）设函数f（x）的图象C1与函数g（x）的图象C2交于P、Q两点，过线段PQ的中点作X轴的垂线分别交C1、C2于点M、N，判断C1在点M处的切线与C2在点N处的切线是否平行，并证明你的结论．
如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE，CF的中点．
（1）求证：AC⊥平面BDEF；
（2）求证：平面BDGH∥平面AEF；
（3）求多面体ABCDEF的体积．
在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，且cosA=
4
5
，
sinB
sinA
=
b
2
，则△ABC的面积S的最大值为
 
．
已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且距离为1，则球的半径是
 
．
已知定义在R上的函数f（x），满足f（-x）=-f（x），f（x-3）=f（x），当x∈（0，
3
2
）时，f（x）=ln（x2-2x+2），则函数f（x）在区间[-2，2]上的零点个数是
 
．
点A（2，3）在矩阵M=
1
3
1
3
1
3
1
3
对应变换作用下得到点的坐标为
 
．
已知函数f（x）=ax2-1，a为一个正常数，且f[f（-1）]=-1，则实数a=
 
．
已知向量
a
=（3，4），
b
=（-2，1），若（
a
+x
b
）⊥
b
，则实数x为（　　）
A、-
1
5
B、-
2
5
C、
1
5
D、
2
5

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