Question

已知函数f（x）=plnx+（p-1）x²+1．
（1）当p=1时，f（x）≤λx恒成立，求实数λ的取值范围．
（2）当p＞0时，讨论函数f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）当p=1时，f（x）≤λx恒成立，等价于1+lnx≤λx，即λ≥

1+lnx

x

，f（x）的定义域为（0，+∞），令h(x)=

1+lnx

x

，则k≥h（x）_max，确定函数h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，即可求得实数λ的取值范围；
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），求导函数，分类讨论，令f′（x）＞0，可得函数单调增区间，f′（x）＜0，可得函数单调减区间．

解答：解：（1）当p=1时，f（x）≤λx恒成立，等价于1+lnx≤kx，∴λ≥

1+lnx

x

，f（x）的定义域为（0，+∞）
令h(x)=

1+lnx

x

，则λ≥h（x）_max，
因为h′(x)=-

lnx

x2

，由h′（x）=0得x=1，且当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．
所以h（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减．
所以h（x）_max=h（1）=1，故λ≥1；
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)=

2(p-1)x2+p

x

当p＞1时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；
当0＜p＜1时，令f′（x）=0，解得x=

- p 2(p-1)

．
则当x∈(0，

- p 2(p-1)

)时，f′（x）＞0；x∈(

- p 2(p-1)

，+∞)，f′（x）＜0；
故f（x）在(0，

- p 2(p-1)

)单调递增，在(

- p 2(p-1)

，+∞)单调递减．

点评：本题考查导数知识的运用，考查恒成立问题，考查函数的单调性，分离参数是关键．