Question

四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，其中AD∥BC，O为AD中点，PO⊥底面ABCD．又AB=2

2

，BC=8，AD=4，PO=4．
（I）求直线PA和CD所成角的余弦值；
（II）求B-PA-D的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（I）取BC中点E，连接AE，OE，则∠PAE（或其补角）即为直线PA和CD所成角，利用余弦定理可求；
（II）设B-PA-D的平面角为α，利用cosα=

S△PAB

S△PAD

可求．

解答：解：（I）取BC中点E，连接AE，OE，则
∵AD=4，BC=8，
∴AE∥DC
∴∠PAE（或其补角）即为直线PA和CD所成角
∵PO⊥底面ABCD，
∴PO⊥AO，PO⊥OE
∵底面ABCD为等腰梯形，
∴OE=2，AE=2

2

，PE=

20

∵PO=4，AO=2
∴PA=

20

∴cos∠PAE=

PA2+AE2-PE2

2PA•AE

=

20+8-20

2• 20 •2 2

=

10

10

；
（II）设B-PA-D的平面角为α，则
∵底面ABCD为等腰梯形，AD=4，BC=8，∴∠ABC=45°，∴∠BAD=135°，
在△BAO中，AB=2

2

，AO=2，∴BO=

8+4-2•2 2 •2•(- 2 2 )

=

20

∴PB=

20+16

=6
在△PAB中，PB=6，PA=

20

，AB=2

2

，∴cos∠PAB=

8+20-36

2•2 2 • 20

=-

10

10

∴sin∠PAB=

3 10

10

∴S△PAB=

1

2

•

20

•2

2

•

3 10

10

=6
∵S△PAD=

1

2

•4•4=8
∴cosα=

S△PAB

S△PAD

=

6

8

=

3

4

．

点评：本题考查空间角，考查余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．本题解答中用到了投影面法求二面角，注意总结其原理且能使用