Question

4．用数学归纳法证明：对于任意自然数n，数11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹是133的倍数．

Answer 1

分析 用数学归纳法证明整除问题时分为两个步骤，第一步，先证明当n=0时，结论显然成立，第二步，先假设假设当n=k时结论成立，利用此假设结合因式的配凑法，证明当n=k+1时，结论也成立即可．

解答 证明：（1）当n=0时，11⁰⁺²+12⁰⁺¹=133是133的倍数，
（2）假设当n=k时，11^k+2+12^2k+1=133M，即是133的倍数．
则n=k+1时，11^k+3+12^2k+3=11（11^k+2+12^2k+1）+133×12^2k+1
=133M+133×12^2k+1是133的倍数．
由①②知，对于任意自然数n，数11ⁿ⁺²+12²ⁿ⁺¹是133的倍数．

点评 本题主要考查数学归纳法，数学归纳法的基本形式：
设P（n）是关于自然数n的命题，若1°P（n₀）成立（奠基）
2°假设P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（归纳），则P（n）对一切大于等于n₀的自然数n都成立