Question

16．已知直线l：y=x+b，椭圆C：x²+2y²=4．
（1）若直线和椭圆有两个交点，求b的范围；
（2）若直线被椭圆截得的弦长为$\frac{4}{3}$$\sqrt{2}$，求b的值．

Answer 1

分析 （1）联立直线与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，由判别式大于0求得b的范围；
（2）直接利用弦长公式列式求b的值．

解答 解：（1）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+b}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得3x²+4bx+2b²-4=0．
由△=（4b）²-12（2b²-4）=48-8b²＞0，
解得：-$\sqrt{6}＜b＜\sqrt{6}$；
（2）设直线被椭圆所截弦的两端点分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）知，${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4b}{3}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{b}^{2}-4}{3}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}|{x}_{1}-{x}_{2}|=\sqrt{2}\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=$\sqrt{2}\sqrt{（-\frac{4b}{3}）^{2}-4•\frac{2{b}^{2}-4}{3}}=\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
解得：b=±2．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了弦长公式的应用，是中档题．