Question

13．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线x-y+2=0相切，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 写出圆的方程，利用直线与圆相切的充要条件列出方程求出b的值，利用椭圆的离心率公式得到a，c的关系，再利用椭圆本身三个参数的关系求出a，c的值，从而可得椭圆的方程．

解答 解：由题意可得圆的方程为x²+y²=b²，
∵直线x-y+2=0与圆相切，
∴d=$\frac{2}{\sqrt{2}}$=b，即b=$\sqrt{2}$，
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，即a=$\sqrt{3}$c，
∵a²=b²+c²，
∴a=$\sqrt{3}$，c=1，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．

点评 本题考查椭圆的标准方程，考查学生的计算能力，属于中档题．