Question

9．已知抛物线x²=4y的集点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PA⊥l于点A，当∠AFO=30°（O为坐标原点）时，|PF|=$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 由抛物线x²=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=-1．由∠AFO=30°，可得x_A=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．由于PA⊥l，可得x_P=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，y_P=$\frac{1}{3}$，再利用|PF|=|PA|=y_P+1即可得出．

解答 解：由抛物线x²=4y，可得焦点F（0，1），准线l的方程为：y=-1．
∵∠AFO=30°，∴x_A=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
∵PA⊥l，
∴x_P=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，y_P=$\frac{1}{3}$，
∴|PF|=|PA|=y_P+1=$\frac{4}{3}$．
故答案为：$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．