题目内容
过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点作倾斜角为θ的直线l，设l交抛物线于A、B两点.(1)求?|AB|?;?
(2)求|AB|的最小值.?
解析:(1)当θ=90°时，直线AB的方程为x=
.??
由
得A(
,-p)、B(
,p).?
∴|AB|=2p.?
当θ≠90°时，直线AB的方程为y=(x-
)tanθ.
由
得
tan2θ·x2-(2p+ptan2θ)x+
·tan2θ=0.
设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则
x1+x2=
.?
∴|AB|=x1+
+x2+
=p+
=
.
(2)由(1)知当θ=90°时,|AB|最小为2p.
温馨提示:求过抛物线焦点的弦长问题,一般是把弦分成两条焦半径,利用焦半径公式结合韦达定理来求.过焦点的最短弦(与对称轴垂直)是抛物线的通径.
练习册系列答案
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过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线l与抛物线在第一象限的交点为A，与抛物线的准线的交点为B，点A在抛物线准线上的射影为C，若
=
，
•
=48，则抛物线的方程为（ ）
| AF |
| FB |
| BA |
| BC |
| A、y2=4x | ||
| B、y2=8x | ||
| C、y2=16x | ||
D、y2=4
|
过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A、B两点，O为抛物线的顶点．则△ABO是一个（ ）
| A、等边三角形 | B、直角三角形 | C、不等边锐角三角形 | D、钝角三角形 |