Question

已知：圆x²+y²=1过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点，与椭圆有且仅有两个公共点：直线y=kx+m与圆x²+y²=1相切，与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1相交于A，B两点记λ=

OA

•

OB

，且

2

3

≤λ≤

3

4

，
（1）求椭圆的方程；
（2）求k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据圆x²+y²=1过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两焦点，可求出a，因为圆x²+y²=1与椭圆有且仅有两个公共点，可求出b，椭圆的方程可知．
（2）利用直线y=kx+m与圆x²+y²=1相切，可把m用k表示，直线方程与椭圆方程联立，把λ用k表示，根据λ的范围，即可求出k的范围．

解答：解：（1）由题意知2c=2，c=1，
∵圆与椭圆有且只有两个公共点，∴b=1，∴a=

2

∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）∵直线y=kx+m与圆x²+y²=1相切，∴原点O到直线的距离为

|m|

1+k2

=1，即m²=k²+1
把直线y=kx+m代入椭圆方程，消去y可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

-4km

1+2k2

，x₁x₂=

2m2-2

1+2k2

λ=

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=（1+k²）•

2m2-2

1+2k2

+km•

2m2-2

1+2k2

+m²=

k2+1

1+2k2

∵

2

3

≤λ≤

3

4

，∴

1

2

≤k²≤1
∴k的取值范围为[-1，-

2

2

]∪[

2

2

，1]．

点评：本题考查了椭圆方程的求法，考查椭圆与直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．