Question

（2012•德阳三模）已知离心率为

2

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点M(

6

，1)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知与圆x2+y2=

8

3

相切的直线l与椭圆C相交于不同两点A、B，O为坐标原点，求

OA

•

OB

的值．

Answer 1

分析：（1）根据离心率为

2

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点M(

6

，1)，建立方程，确定几何量的值，即可得到椭圆C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当直线l的斜率不存在时，l：x=±

2

3

6

，此时

OA

•

OB

=x12-y12=0
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m由l于圆相切得3m²-8k²-8=0，将l代入椭圆方程，利用韦达定理及向量的数量积公式，即可求得结论．

解答：解：（1）∵离心率为

2

2

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)过点M(

6

，1)．
∴

a2-b2

a2

=

1

2

，

6

a2

+

1

b2

=1
∴a²=8，b²=4
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），当直线l的斜率不存在时，l：x=±

2

3

6

，此时x₁=x₂=±

2

3

6

，y₁=-y₂，
∴

OA

•

OB

=x12-y12=0
当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m
由l于圆相切得：

|m|

k2+1

=

2 2

3

∴3m²-8k²-8=0
将l代入椭圆方程可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0
∴x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-8

1+2k2

∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=（1+k²）x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=

3m2-8k2-8

1+2k2

=0
综上，

OA

•

OB

=0

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，联立方程，利用韦达定理解题是关键．