Question

已知数集具有性质；对任意的
，与两数中至少有一个属于。
（Ⅰ）分别判断数集与是否具有性质，并说明理由；
（Ⅱ）证明：，且；
（Ⅲ）证明：当时，成等比数列。

Answer 1

（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P；由于都属于数集，∴该数集具有性质P。
（Ⅱ）证明见解析。
（Ⅲ）证明见解析。

本题主要考查集合、等比数列的性质，考查运算能力、推理论证能力、分
分类讨论等数学思想方法。本题是数列与不等式的综合题，属于较难层次题。
（Ⅰ）由于与均不属于数集，∴该数集不具有性质P；由于都属于数集，∴该数集具有性质P。
（Ⅱ）∵具有性质P，∴与中至少有一个属于A，
由于，∴，故。
从而，∴。
∵， ∴，故。
由A具有性质P可知。
又∵，
∴，
从而，
∴。
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，有，即，
∵，∴，∴，
由A具有性质P可知。
由，得，且，∴，
∴，即是首项为1，公比为成等比数列。