Question

【题目】已知函数，各项均不相等的数列满足．令．给出下列三个命题：

(1)存在不少于3项的数列，使得；

(2)若数列的通项公式为，则对恒成立；

(3)若数列是等差数列，则对恒成立．

其中真命题的序号是（ ）

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(1)(2)(3)

Answer 1

【答案】D

【解析】

由题意得是奇函数，只需考查时，的奇偶性，而和都在上是增函数，所以在上是增函数，即时，
对于（1），取即可判断；

对于（2），运用等比数列的求和公式和三角函数的性质，即可判断；
对于（3），运用等差数列的性质和函数的性质，以及不等式的性质，结合函数的单调性，即可判断．

由题意得，所以是奇函数，只需考查时，的奇偶性，而和都在上是增函数，所以在上是增函数；

所以在上是增函数.设，

若，则 即，

若，则 即，

∴时，
对于（1），取则因此（1）正确；
对于（2），∵，∴ ，
又时，

，

令，则，

所以，

因为，所以，所以，

所以，即，

所以，所以，

又因为，

所以，即对于恒成立，故（2）正确；
对于（3），因为数列是等差数列，若 ，
若则，可得 相加即可得到，所以

若则，可得

相加即可得到，所以
故（3）正确．
故选：D．