Question

如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
（Ⅰ）如果A，B两点的纵坐标分别为

4

5

，

12

13

，求cosα和sinβ
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求cos（β-α）的值；
（Ⅲ）已知点C(-1，

3

)，求函数f(β)=

OB

•

OC

的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由题意可得A，B两点的坐标，由任意角的三角函数的定义可得cosα和sinβ的值．
（2）由以上还可得到 sinα=

4

5

，cosβ=-

5

13

，由两角和差的余弦公式可得cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα，
运算求得结果．
（3）由两个向量的数量积的定义，利用两角和差的余弦公式求得函数f（β）=2sin（β-

π

6

），由
2kπ-

π

2

≤β-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，以及β为钝角，求出β的范围，可得函数的增区间．
同理，由 2kπ+

π

2

≤β-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，以及β为钝角，求出β的范围，可得函数f（β）的增减区间．

解答：解：（1）由题意可得A的坐标为（

3

5

，

4

5

），B的坐标为（-

5

13

，

12

13

），由任意角的三角函数的定义可得，
cosα=

3

5

，sinβ=

12

13

．
（2）由以上还可得到 sinα=

4

5

，cosβ=-

5

13

，由两角和差的余弦公式可得
cos（β-α）=cosβcosα+sinβsinα=-

5

13

×

3

5

+

12

13

×

4

5

=

33

65

．
（3）f(β)=

OB

•

OC

=（cosβ，sinβ）•(-1，

3

)=-cosβ+

3

sinβ=2sin（β-

π

6

）．
由 2kπ-

π

2

≤β-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 2kπ-

π

3

≤β≤2kπ+

2π

3

，k∈z．
再由β为钝角可得

π

2

＜β≤

2π

3

，故函数f（β）的增区间为（

π

2

，

2π

3

]．
同理，由 2kπ+

π

2

≤β-

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈z，解得 2kπ+

2π

3

≤β≤2kπ+

5π

3

，k∈z，
再由β为钝角可得 

2π

3

≤β＜π，故函数f（β）的减区间[

2π

3

，π)．

点评：本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的余弦公式，两个向量的数量积的定义，属于中档题．