Question

解答题：解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 已知函数f(x)=－x2＋bx＋ (1) 若f(x)有极值，求b的取值范围 (2) 当f(x)在x=1处取得极值时，①若当x∈［－1，2］时，f(x)＜c2恒成立，求c的取值范围；②证明：对［－1，2］内的任意两个值x1，x2，都有｜f(x1)－f(x2)｜＜．

Answer 1

答案：
解析：

(1)

∵f(x)=x3－x2＋bx＋c，∴f`(x)=3x2－x＋b 要使f(x)有极值，则f`(x)=3x2－x＋b=0有实数解………………………2分 从而△＝1－12b≥0，∴b≤……………………………………………………3分 当b=时，函数在R上严格递增，∴b＜………………………………4分

(2)

∵f(x)在x=1处取得极值 ∴f`(1)=3－1＋b=2＋b=0 ∴b＝－2…………………………………………………………………………5分 ①∴f(x)=－x2－2x＋c ∵f`(x)=3x2－x－2=(3x＋2)(x－1) ∴当x∈时，f`(x)＞0，函数单调递增 当x∈(－，1)时，f`(x)＜0，函数单调递减 ∴当x=－时，f(x)有极大值＋c………………………………………8分 又f(2)=2＋c＞＋c，f(－1)=＋c＜＋c ∴x∈［－1，2］时，f(x)最大值为f(2)=2＋c ∴c2＞2＋c ∴c＜－1或c＞2…………………………………………………………………10分 ②由上可知，当x=1时，f(x)有极小值－＋c 又f(2)=2＋c＞－＋c，f(－1)=＋c＞－＋c…………………………12分 ∴x∈［－1，2］时，f(x)的最小值为－＋c ∴｜f(x1)－f(x2)｜＜｜fmax(x)－fmax(x)｜=，故结论成立．………14分