题目内容
9．
有如图所示的五种塑料薄板（厚度不计）：①两直角边分别为3、4的直角三角形ABC；
②腰长为4、顶角为36°的等腰三角形JKL；
③腰长为5、顶角为120°的等腰三角形OMN；
④两对角线和一边长都是4且另三边长相等的凸四边形PQRS；
⑤长为4且宽（小于长）与长的比是黄金分割比的黄金矩形WXYZ．
它们都不能折叠，现在将它们一一穿过一个内、外径分别为2.4、2.7的铁圆环．
我们规定：如果塑料板能穿过铁环内圈，则称为此板“可操作”；否则，便称为“不可操作”．
（1）证明：第④种塑料板“可操作”；
（2）求：从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率．
分析 （1）由题意可知四边形PQRS必然是等腰梯形，不妨设QS=PR=QR=4，PQ=PS=RS=x，分别过点S、Q作QR、RS的垂线，垂足为I、F，由相似三角形的性质能证明第④种塑料板“可操作”．
（2）分别作直角三角形ABC斜边BC上的高AH、等腰三角形JKL的腰JL上的高KE、等腰三角形OMN底边上的高MG，推导出第①②④三种塑料板“可操作”；而第③⑤两种塑料板“不可操作”．由此能求出从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率．
解答 
证明：（1）由题意可知四边形PQRS必然是等腰梯形，
不妨设QS=PR=QR=4，PQ=PS=RS=x，
分别过点S、Q作QR、RS的垂线，垂足为I、F，
则由△QRF∽△RSI得到$\frac{RI}{RF}=\frac{RS}{QR}$，
即$\frac{{\frac{4-x}{2}}}{{\frac{x}{2}}}=\frac{x}{4}$，解得$x=2\sqrt{5}-2$．
∴$SI=\sqrt{R{S^2}-I{R^2}}=\sqrt{{x^2}-{{（\frac{4-x}{2}）}^2}}=\sqrt{10-2\sqrt{5}}$＜2.4，
∴第④种塑料板“可操作”．
解：（2）分别作直角三角形ABC斜边BC上的高AH、等腰三角形JKL的腰JL上的高KE、
等腰三角形OMN底边上的高MG，
由已知得AH=2.4，MG=2.5．
又由（1）可得等腰梯形PQRS的锐角底角是72°，△JKL≌△PQR，∴KE=SI．
而黄金矩形WXYZ的宽等于$4×\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}=2\sqrt{5}-2$＞2.4，
∴第①②④三种塑料板“可操作”；而第③⑤两种塑料板“不可操作”．
∴从这五种塑料板中任意取两种至少有一种“不可操作”的概率$P=\frac{7}{10}$．
点评 本题考查塑料板能穿过铁环内圈的证明，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法及相似三角形的性质的合理运用．
| A． | 第一象限 | B． | 第二象限 | C． | 第三象限 | D． | 第四象限 |