Question

【题目】已知椭圆C：（）的左、右焦点分别为、，离心率为，点P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为.

（1）求椭圆C的方程；

（2）椭圆C与x轴交于A、B两点，直线和与直线l：分别交于点M，N，试探究以为直径的圆是否恒过定点，若是，求出所有定点的坐标：若否，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）过定点，和

【解析】

（1）根据的一边为定值，由此可知当P为C的短轴顶点时，面积最大，再结合题目条件，即可解出，得到椭圆C的方程；

（2）由（1）中方程，不妨设，，根据，设直线的方程为，即可得直线的方程为，与直线联立，可得到点的坐标，由此得到以为直径的圆的方程，即可求出所有定点的坐标．

（1）∵椭圆C的离心率为，当P为C的短轴顶点时，

的面积有最大值.

∴，解得，

故椭圆C的方程为：.

（2）不妨设，，，

则，

设：，∴：，

所以，，

以为直径的圆是，即

令，得，解得，，

故以为直径的圆恒过和．