Question

函数f（x）的定义域是D，任意的a，b∈D，有f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)，f（x）的反函数为H（x），已知H（a），H（b），则H（a+b）=

H(a+b)=

H(a)+H(b)

1+H(a)•H(b)

．

Answer 1

分析：设H（a）=x₁，H（b）=x₂，由H（x）是f（x）的反函数，知f（x₁）=a，f（x₂）=b，由任意的a，b∈D，有f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)，知f（x₁）+f（x₂）=f(

x1+x2

1+x1x2

)，由此能求出H（a+b）．

解答：解：设H（a）=x₁，H（b）=x₂，
∵H（x）是f（x）的反函数，
∴f（x₁）=a，f（x₂）=b，
∵任意的a，b∈D，有f(a)+f(b)=f(

a+b

1+ab

)，
∴把x₁，x₂代入得
f（x₁）+f（x₂）=f(

x1+x2

1+x1x2

)，
∵f（x₁）+f（x₂）=a+b，
∴a+b=f(

x1+x2

1+x1x2

)，
∴H（a+b）=

x1+x2

1+x1x2

=

H(a)+H(b)

1+H(a)•H(b)

．

点评：本题考查反函数的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．