题目内容

椭圆 $数学公式$ +y²=1上存在一点P，使得它对两个焦点F₁，F₂的张角∠F₁PF₂= $数学公式$ ，则该椭圆的离心率的取值范围是

A.
（0， $数学公式$ ]
B.
[ $数学公式$ ，1）
C.
（0， $数学公式$ ]
D.
[ $数学公式$ ，1）

B
分析：首先根据椭圆方程，求出它的离心率为：e= $\text{[math]}$ ，然后设点椭圆上P的坐标为（x₀，y₀），满足∠F₁PF₂= $\text{[math]}$ ，利用数量积为0列出关于x₀、y₀和a、c的等式．接下来利用椭圆方程消去y₀，得到关于x₀的式子，再利用椭圆上点横坐标的范围：-a≤x₀≤a，建立关于字母a的不等式，最后解此不等式得出a的范围，代入离心率关于a的表达式，即可得到该椭圆的离心率的取值范围．
解答：∵椭圆方程为： $\text{[math]}$ +y²=0，
∴b²=1，可得c²=a²-1，c= $\text{[math]}$
∴椭圆的离心率为e= $\text{[math]}$
又∵椭圆上一点P，使得角∠F₁PF₂= $\text{[math]}$ ，
∴设点P的坐标为（x₀，y₀），结合F₁（-c，0），F₂（c，0），
可得 $\text{[math]}$ =（-c-x₀，-y₀）， $\text{[math]}$ =（c-x₀，-y₀），
∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =0…①
∵P（x₀，y₀）在椭圆 $\text{[math]}$ +y²=1上，
∴ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ，代入①可得 $\text{[math]}$ +1- $\text{[math]}$ =0
将c²=a²-1代入，得 $\text{[math]}$ -a²- $\text{[math]}$ +2=0，所以 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵-a≤x₀≤a
∴ $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，解之得1＜a²≤2
∴椭圆的离心率e= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ∈[ $\text{[math]}$ ，1）．
点评：本题给出一个特殊的椭圆，在已知椭圆上一点对两个焦点张角为直角的情况下，求椭圆离心率的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质，属于中档题．