Question

在以O为坐标原点的直角坐标系中，，点A（4，-3），B点在第一象限且到x轴的距离为5．
（1） 求向量的坐标及OB所在的直线方程；
（2） 求圆（x-3^）2+（y+1^）2=10关于直线OB对称的圆的方程；
（3） 设直线l为方向向量且过（0，a）点，问是否存在实数a，使得椭圆+y²=1上有两个不同的点关于直线l对称．若不存在，请说明理由； 存在请求出实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）设B（x，5），则，，由，可得4（x-4）-24=0，x=10，由此能够求出向量的坐标及OB所在的直线方程．
（2）设圆心关于直线OB的对称点坐标为（x₁，y₁），由（x-3）²+（y+1）²=10，可知圆心为（3，-1），半径为．由方程知，由此能够推导出所求圆的方程．
（3）假设椭圆上存在两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）关于直线l对称，设其中点坐标为M（x，y）由已知直线l的方程为，可设直线AB的方程为，将其与已知椭圆方程联立得5x²-12mx+8m²-8=0．再由韦达定理进行求解．
解答：解：（1）设B（x，5），
则，，
由，可得，
∴4（x-4）-24=0，x=10，
∴B（10，5），∴，
OB所在的直线方程是：（5分）
（2）设圆心关于直线OB的对称点坐标为（x₁，y₁），
由（x-3）²+（y+1）²=10，
可知圆心为（3，-1），半径为．
由方程知，
∴，又点在上
∴得，∴，
故所求圆的方程为（x-1）²+（y-3）²=10．（10分）
（3）假设椭圆上存在两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）关于直线l对称，
设其中点坐标为M（x，y），
由已知直线l的方程为，
可设直线AB的方程为
将其与已知椭圆方程联立，
得5x²-12mx+8m²-8=0．
由韦达定理知，
．（12分）
中点M（x，y）在圆的内部可知，
解得m²＜10．
又M（x，y）在直线l上，
故，
解得代入m²＜10
解得，
即存在满足题意的实数a，
其取值范围为．（16分）
点评：本题考查圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地选取用公式．