Question

12．已知函数f（x）=$\sqrt{\frac{3{x}^{2}}{{x}^{2}+3}}$，数列{x_n}的通项由x_n=f（x_n-1）（n≥2，且n∈N^*）确定．
（1）求证：{$\frac{1}{{x}_{n}^{2}}$}是等差数列；
（2）当x₁=$\frac{1}{25}$时，求x₂₀₁₄．

Answer 1

分析 （1）通过x_n+1=$\sqrt{\frac{3{{x}_{n}}^{2}}{{{x}_{n}}^{2}+3}}$可知${{x}_{n+1}}^{2}$=$\frac{3{{x}_{n}}^{2}}{{{x}_{n}}^{2}+3}$，对等式两边同时取倒数可知$\frac{1}{{{x}_{n+1}}^{2}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{{x}_{n}}^{2}}$，进而数列{$\frac{1}{{x}_{n}^{2}}$}是公差为$\frac{1}{3}$的等差数列；
（2）通过（1）可知数列{$\frac{1}{{x}_{n}^{2}}$}的公差为$\frac{1}{3}$，通过x₁=$\frac{1}{25}$可知首项$\frac{1}{{{x}_{2014}}^{2}}$=1296，进而计算可得结论．

解答 （1）证明：依题意，x_n+1=$\sqrt{\frac{3{{x}_{n}}^{2}}{{{x}_{n}}^{2}+3}}$，
∴${{x}_{n+1}}^{2}$=$\frac{3{{x}_{n}}^{2}}{{{x}_{n}}^{2}+3}$，
∴$\frac{1}{{{x}_{n+1}}^{2}}$=$\frac{{{x}_{n}}^{2}+3}{3{{x}_{n}}^{2}}$=$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{{{x}_{n}}^{2}}$，
∴数列{$\frac{1}{{x}_{n}^{2}}$}是公差为$\frac{1}{3}$的等差数列；
（2）由（1）可知数列{$\frac{1}{{x}_{n}^{2}}$}的公差为$\frac{1}{3}$，
又∵x₁=$\frac{1}{25}$时，
∴$\frac{1}{{{x}_{1}}^{2}}$=625，
∴$\frac{1}{{{x}_{n}}^{2}}$=625+$\frac{1}{3}$（n-1）=625+$\frac{n-1}{3}$，
∴$\frac{1}{{{x}_{2014}}^{2}}$=625+$\frac{2014-1}{3}$=625+671=1296，
∴x₂₀₁₄=$\frac{1}{\sqrt{1296}}$=$\frac{1}{36}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．