Question

3．下列给出的四个命题中：
①若等差数列{a_n}的公差d＞0，则数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是递增数列；
②“m=-2“是”直线（m+2）x+my+1=0与（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直“的充分不必要条件；
③已知0＜θ＜$\frac{π}{4}$，则双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{co{s}^{2}θ}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}θ}$=1与C₂：$\frac{{x}^{2}}{si{n}^{2}θ}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}θta{n}^{2}θ}$=1的焦距相等；
④在实数数列{a_n}中，a₁=0，|a₂|=|a₁-1|，|a₃|=|a₂-1|，…|a_n|=|a_n-1-1|，则a₁+a₂+a₃+a₄的最大值为2．
其中为真命题的是②④．

Answer 1

分析 举出反例a_n=n，可判断①； 根据直线垂直的充要条件，可判断②；求出两个曲线的焦距，可判断③；根据已知分类讨论a₁+a₂+a₃+a₄的值，综合讨论结果，可判断④．

解答 解：等差数列{a_n}的通项公式为a_n=n时，公差d＞0，则数列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是常数列，故①错误；
直线（m+2）x+my+1=0与（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直?（m+2）（m-2）+m（m+2）=0?m=-2或m=1，故“m=-2“是”直线（m+2）x+my+1=0与（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直“的充分不必要条件，故②正确；
已知0＜θ＜$\frac{π}{4}$，则双曲线C₁：$\frac{{x}^{2}}{co{s}^{2}θ}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}θ}$=1的焦距为$\frac{2}{cosθ}$，C₂：$\frac{{x}^{2}}{si{n}^{2}θ}$-$\frac{{y}^{2}}{si{n}^{2}θta{n}^{2}θ}$=1的焦距为$\frac{2}{sinθ}$，两者不相等，故③错误；
若a₁=0，则|a₂|=|a₁-1|=1，即a₂=1，或a₂=-1；
（1）当a₂=1时，|a₃|=|a₂-1|=0，即a₃=0，则a₄=1，或a₄=-1；则当且仅当a₂=a₄=1时，a₁+a₂+a₃+a₄的最大值为2
（2）当a₂=-1时，|a₃|=|a₂-1|=2，即a₃=2，或a₃=-2，
1）当a₃=-2时，|a₄|=|a₃-1|=3，a₄=3，或a₄=-3，当且仅当a₄=3时，a₁+a₂+a₃+a₄的最大值为0；
2）当a₃=2时，|a₄|=|a₃-1|=1，a₄=1，或a₄=-1，则当且仅当a₄=1时，a₁+a₂+a₃+a₄的最大值为2
综上所述，a₁+a₂+a₃+a₄的最大值为2，故④正确；
故真命题的序号为：②④，
故答案为：②④

点评 本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，此类题型往往综合较多的其它知识点，综合性强，难度中档．