Question

已知sinα+cosα=

1

3

，则

(tanα+cotα)•(1+tanα)

sinα

=（　　）

• A．

  16

  81

• B．

  81

  16

• C．

  16

  27

• D．

  27

  16

Answer 1

分析：根据同角三角函数的基本关系，化简得原式=

sinα+cosα

(sinαcosα)2

．再由sinα+cosα=

1

3

，利用平方关系算出sinαcosα=-

4

9

，代入化简后的式子即可求出原式的值．

解答：解：∵tanα=

sinα

cosα

，cotα=

cosα

sinα

，sin²α+cos²α=1
∴

(tanα+cotα)•(1+tanα)

sinα

=

( sinα cosα + cosα sinα )•(1+ sinα cosα )

sinα

=（

sinα

cosα

+

cosα

sinα

）•

sinα+cosα

sinαcosα

=

sin2α+cos2α

sinαcosα

•

sinα+cosα

sinαcosα

=

sinα+cosα

(sinαcosα)2

…（*）
∵sinα+cosα=

1

3

，
∴平方得(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα=

1

9

，
由此可得sinαcosα=-

4

9

，
结合sinα+cosα=

1

3

代入（*）式，可得原式=

1 3

(- 4 9 )2

=

27

16

．
故选：D

点评：本题给出α的正余弦值之和，求另一个三角函数式的值．着重考查了同角三角函数的基本关系、三角函数的化简求值等知识，属于中档题．