Question

【题目】已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.

（1）为中点，在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）存在；（2）.

【解析】试题分析：如图建立空间直角坐标系，求出相应点的坐标，（1）求出平面的法向量，设，根据，求出即可；（2）求出平面的一个法向量，求出法向量夹角的余弦值即可.

试题解析：如图，

建立空间直角坐标系，则由该几何体的三视图可知：

.

（1）设平面的法向量，

∵，

∴，

∴令，可解得平面的一个法向量，

设，由于，则，

又∵平面，

∴，即，

∴在线段上存在一点，使得平面，此时；

（2）设平面的法向量，

∵，

∴

∴令，可解得平面的一个法向量，

∴.

由图可知，所求二面角为锐角，即二面角余弦值为.