Question

x，y∈（0，2]，且xy=2，且6-2x-y≥a（2-x）（4-y）恒成立，则实数a取值范围是

（-∞，1]

．

Answer 1

分析：先换元，令2x+y=t并求出它的取值范围，然后利用分离法将参数a分离出来，求不等式另一侧的最值即可．

解答：解：令2x+y=t，
∵x，y∈（0，2]，且xy=2，
∴2x+y=2x+

2

x

≥2

2x• 2 x

=4，
∴t∈[4，5]
∵6-2x-y≥a（2-x）（4-y）=a（8-4x-2y+xy）=a（10-4x-2y）
∴6-t≥a（10-2t），
a≤

6-t

10-2t

，
∴当t=4时，a≤（

6-t

10-2t

））_min=1
故答案为（-∞，1]．

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及换元法的应用，解题时要认真审题，注意均值不等式的合理运用．