Question

（2013•潍坊一模）已知f（x）=a（x+2a）（x-a-3），g（x）=2^-x-2，同时满足以下两个条件：
①?x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；
②?x∈（1，+∞），f（x）•g（x）＜0成立，
则实数a的取值范围是（　　）

• A．(-4，

  1

  2

  )
• B．(-∞，-4)∪(-

  1

  2

  ，0)
• C．（-4，-2）∪（-

  1

  2

  ，0）
• D．(-4，-2)∪(-

  1

  2

  ，

  1

  2

  )

Answer 1

分析：由①可得当x＜-1时，f（x）＜0，根据②可得当x＞1时，函数f（x）在x轴的上方有图象，故有

a＜0 -2a≠a+3 3-a 2 ≥1 f( 3-a 2 )＞0 f(-1)≤0

，
由此解得实数a的取值范围．

解答：解：∵已知f（x）=a（x+2a）（x-a-3），g（x）=2^-x-2，
根据①?x∈R，f（x）＜0，或g（x）＜0，
即函数f（x）和函数g（x）不能同时取非负值．
由g（x）＜0，求得x＞-1，即当x＞-1时，g（x）＜0；
当x＜-1时，g（x）＞0．
故当x＜-1时，f（x）＜0．
根据②?x∈（1，+∞），f（x）•g（x）＜0成立，
而当x＞1时，g（x）=2^-x-2＜0，
故f（x）=a（x+2a）（x-a-3）＞0在（1，+∞）上有解，
即当x＞1时，函数f（x）在x轴的上方有图象，
故函数f（x）和函数g（x）的图象如图所示：
综合以上，故有

a＜0 -2a≠a+3 3-a 2 ≥1 f( 3-a 2 )＞0 f(-1)≤0

，即

a＜0 a≠-1 a≤1 (a+1)2＞0 (2a-1)(a+4)≤0

，解得-4＜a＜-1，或-1＜a＜0，
故选 C．

点评：本题主要考查二次函数的性质，指数函数的图象和性质，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．