Question

19．已知函数f（x）满足f（x+1）=f（x-1），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=2^x-1，若在区间[-1，3]内，函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． $[\frac{1}{4}，\frac{1}{3}）$
• B． $（0，\frac{1}{2}）$
• C． $（0，\frac{1}{4}]$
• D． $（\frac{1}{3}，\frac{1}{2}）$

Answer 1

分析 函数g（x）=f（x）-kx-k有4个零点可化为函数f（x）与y=kx+k在[-1，3]内的图象有四个不同的交点，从而作图求得．

解答 解：∵f（x+1）=f（x-1），
∴函数f（x）的周期为2，
∴作函数f（x）与y=kx+k在[-1，3]内的图象如下，
，
直线y=kx+k过点（-1，0）；
当过点（3，1）时，直线的斜率k=$\frac{1-0}{3-（-1）}$=$\frac{1}{4}$，
故结合图象可知，
0＜k≤$\frac{1}{4}$；
故选C．

点评 本题考查了函数的性质的判断与应用，同时考查了数形结合的思想应用．