Question

（本小题满分14分）已知函数， ，；

（1）设，若在定义域内存在极值，求的取值范围；

（2）设是的导函数，若，，

，求证： ．

Answer 1

（1）a＞2；（2）见解析

【解析】

试题解析：（1） h（x）定义域为（0，＋∞）．

２分

令,其判别式．

①当|a|≤2时，，h（x）在（0，＋∞）上单调递增．无极值点．

②当a ＜-2时，，m（x）＝0的两根都小于0 ,在（0，＋∞）上，h′（x）＞0，

故h（x）在（0，＋∞）上单调递增．无极值点．

③当a＞2时, Δ＞0，m（x）＝0的两根 ，

当 时，h′（x）＞0，当 时，h′（x）＜0，时，h′（x）＞0 5分

故h（x）分别在上单调递增，在上单调递减．所以存在两个极值点，

所以a＞2 ． 6分

另解：， 1分

要使h（x）在定义域 （0，＋∞）存在极值，即方程在（0，＋∞）有2个根，

令，则方程在（0，＋∞）有2个根等价于

4 分

，所以存在两个极值点．

所以a＞2． 6 分

（2）由（1）知，所以，

，，

由 ，

所以?，即 8 分

所以要证，只要证，

，只要证 ，只要证 10分

令，只要证2（s－1）＜（1＋s）lns，s＞1．

设r（s）＝（1＋s）lns－2（s－1）， ，，

所以在（1，＋）上为增函数，，所以 ，所以r（s）在（1，＋）递增，r（1）＝0，

所以r（s）＞0，即（1＋s）lns－2（s－1）＞0，结论得证．

考点：考查利用导数研究函数的极值，导数与不等式的综合应用．