Question

如图，已知是正三棱柱，它的底面边长和侧棱长都是2，D为侧棱的中点，为的中点．

（1）求证：；

（2）求直线到平面的距离；

（3）求二面角的正切值．

Answer 1

解：(1)证明:连结C1E,则C1E^A1B1,

又∵A1B1^C1C,∴A1B1^平面EDC1,∴A1B­1^DE,

而A1B1//AB,∴AB^DE.  ……………3分

(2)取AB中点为F,连结EF,DF,则EF^AB,∴AB^DF.

   过E作直线EH^DF于H点,则EH^平面DAB,∴EH就是直线A1B1到平面DAB的距离. 在矩形C1EFC中,∵AA1=AB=2,∴EF=2,C1E=,DF=2,

∴在△DEF中,EH=,……………7分

故直线A1B1到平面DAB的距离为.       

(3)过A作AM^BC于M点,则AM^平面CDB,

   过M作MN^BD于N点,连结AN,则AN^BD,∴∠ANM即为所求二面角的平面角,

   在Rt△DCB中,BC=2,DC=1,M为BC中点,∴MN=,

   在Rt△AMN中,tan∠ANM=……………12分