Question

 如图，四棱锥的底面为正方形，侧棱底面，且，分别是线段的中点。

（1）求证：平面；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的大小。

Answer 1

解法一：（1）证明：∵，分别是线段，的中点，∴。

又∵平面，平面，

∴平面。

（2）解，∵为的中点，且，∴，

又∵底面，底面，∴。

又∵四边形为正方形，∴。

又∵，∴平面。

又∵平面，∴。

又∵，∴平面。

（3）∵平面，平面，∴平面平面，

∵平面，平面平面=，，

∴平面，∵分别是线段的中点，

∴，∴平面。∵平面，平面，

∴，∴，

∴就是二面角的平面角。

在中，，

∴，所以二面角的大小为。

解法二：建立如图所示的空间直角坐标系，

∴。

（1）证明：∵，，

∴

∵平面，且平面，

∴平面。

（2）解：，，，

，

。

∴

又∵∴平面。

（3） 设平面的法向量为，

因为，，

则取。

又因为平面的法向量为，

所以，

∴，所以二面角的大小为。