题目内容

如图，已知椭圆Γ： $数学公式$ （a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），Q是椭圆外的一个动点，满足| $数学公式$ |=2a．点P是线段F₁Q与该椭圆的交点，点M在线段F₂Q上，且满足 $数学公式$ • $数学公式$ =0，| $数学公式$ |≠0．
（Ⅰ）求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设不过原点O的直线l与轨迹C交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．

解：（Ⅰ）设M（x，y）为轨迹C上的任意一点．
当| $\text{[math]}$ |=0时，点（a，0）和点（-a，0）在轨迹C上．
当| $\text{[math]}$ |≠0且| $\text{[math]}$ |≠0时，由 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，得 $\text{[math]}$ ⊥ $\text{[math]}$ ．
又| $\text{[math]}$ |=| $\text{[math]}$ |，所以M为线段F₂Q的中点．在△QF₁F₂中，| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ | $\text{[math]}$ |=a，所以有x²+y²=a²．
综上所述，点M的轨迹C的方程是x²+y²=a²．
（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，故可设直线l的方程为y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 $\text{[math]}$ 消去y并整理，得（1+k²）x²+2kmx+m²-a²=0，
则△=4k²m²-4（1+k²）（m²-a²）=4（k²a²+a²-m²）＞0，且x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ ．
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²．
∵直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =k²，即 $\text{[math]}$ +m²=0，
又m≠0，
∴k²=1，即k=±1．
设点O到直线l的距离为d，则d= $\text{[math]}$ ，
∴S_△OAB= $\text{[math]}$ |AB|d= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ |x₁-x₂|• $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ |x₁-x₂||m|= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ．
由直线OA，OB的斜率存在，且△＞0，得0＜m²＜2a²且m²≠a²，
∴0＜ $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ =a²．
故△OAB面积的取值范围为（0， $\text{[math]}$ a²）
分析：（Ⅰ）设M（x，y）为轨迹C上的任意一点，分类讨论，利用 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，| $\text{[math]}$ |≠0，即可求点M的轨迹C的方程；
（Ⅱ）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，可设直线l的方程，代入圆的方程，利用韦达定理及直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，可求直线方程，从而可求△OAB面积，进而可得△OAB面积的取值范围．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与圆的位置关系，考查求三角形的面积，考查类比思想，解题的关键是挖掘隐含条件，正确表示三角形的面积，属于中档题．