Question

（2012•洛阳一模）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为

3

2

，且经过点M（2，1），直线AB平行于OM，且交椭圆于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求直线AB在y轴上截距的取值范围；
（3）记直线MA，MB斜率分别为k₁，k₂．试问k₁+k₂是否为定值？若是，求出k₁+k₂的值，否则，说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出椭圆方程，利用椭圆的离心率为

3

2

，且经过点M（2，1），可得方程组，求出几何量，即可求得椭圆的方程；
（2）设出直线AB的方程，代入椭圆方程，利用判别式，即可求直线AB在y轴上截距的取值范围；
（3）利用韦达定理，结合直线的斜率公式，化简即可得到结论．

解答：解：（1）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵椭圆的离心率为

3

2

，且经过点M（2，1），
∴

a2-b2 a2 = 3 4 4 a2 + 1 b2 =1

∴a²=8，b²=2
∴椭圆方程为

x2

8

+

y2

2

=1；
（2）∵直线AB∥OM，kOM=

1

2

，∴可设直线AB的方程为y=

1

2

x+m
代入椭圆方程，可得x²+2mx+2m²-4=0
∴△=（2m）²-4（2m²-4）＞0
∴-2＜m＜2
当m=0时，x=±2，这与直线AB∥OM相矛盾，∴m≠0
∴直线AB在y轴上截距的取值范围是（-2，0）∪（0，2）；
（3）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

，
由x²+2mx+2m²-4=0，可得x₁+x₂=-2m，x₁x₂=2m²-4，
∴k₁+k₂=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0
即k₁+k₂为定值0．

点评：本题考查椭圆的标准方程、椭圆的简单性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．