Question

如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为A（0，

2

），且离心率等于

3

2

，过点M（0，2）且斜率为k的直线l与椭圆相交于P，Q不同两点（与点B不重合），椭圆与x轴的正半轴相交于点B．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若

PB

•

QB

=0，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由题设条件求出b²和a²，由此可以求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，依题意有△=（16k）²-4×（1+4k²）×8＞0，由此解得k＞

1

2

或k＜-

1

2

．设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），再由根与系数和关系和

PB

•

QB

=0，能够求出直线l的方程．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)（1分）
因为它的一个顶点为A（0，

2

），所以b²=2，由离心率等于

3

2

，
得

a2-b2 a2

=

3

2

，解得a²=8，
所以椭圆的标准方程为

x2

8

+

y2

2

=1（4分）
（Ⅱ）由已知设直线l的方程为y=kx+2，与椭圆方程联立消去y得（1+4k²）x²+16kx+8=0，
依题意有△=（16k）²-4×（1+4k²）×8＞0，解得k＞

1

2

或k＜-

1

2

（2分）
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2=-

16k

1+4k2

，
且x1x2=

8

1+4k2

，由

PB

•

QB

=0
得(1+k2)x1x2+2(k-

2

)(x1+x2)+12=0（2分）
于是(1+k2)×

8

1+4k2

+2(k-

2

)×(-

16k

1+4k2

)+12=0，
整理得6k2+8

2

k+5=0，
解得k=-

2

2

或k=-

5 2

6

，又-

5 2

6

＜-

2

2

＜-

1

2

，
但k=-

2

2

时，y=-

2

2

x+2此时点Q与点B重合，舍去，所以直线l的方程是y=-

5 2

6

x+2（3分）

点评：本题考查直线和圆锥轴线的位置关系，解题时要认真审题，仔细解答．