Question

（备用题）如图，已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的点M(1，

3

2

)到它的两焦点F₁、F₂的距离之和为4，A、B分别是它的左顶点和上顶点．
（I）求此椭圆的方程及离心率；
（II）平行于AB的直线l与椭圆相交于P、Q两点，求|PQ|的最大值及此时直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）由椭圆上的点M到它的两焦点F₁、F₂的距离之和为4，可得a的值，再将M（1，

3

2

）代入，即可确定椭圆方程及离心率；
（II）设l的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理确定|PQ|的表达式，从而可求|PQ|的最大值及此时直线l的方程．

解答：解：（I）由题意，∵椭圆上的点M到它的两焦点F₁、F₂的距离之和为4，
∴2a=4，∴a=2
∴方程为

x2

4

+

y2

b2

=1
将M（1，

3

2

）代入得

1

4

+

( 3 2 )2

b2

=1，∴b²=3，∴c²=1
∴椭圆方程为：

x2

4

+

y2

3

=1，e=

c

a

=

1

2

；
（II）∵kAB=

3

2

，∴设l的方程为：y=

3

2

x+m
由

y= 3 2 x+m x2 4 + y2 3 =1

，∴3x2+2

3

mx+2m2-6=0
∴△=12（6-m²）＞0，∴0≤m²＜6
设

P(x1，y1)，Q(x2，y2)

，则x₁+x₂=-

2 3 m

3

，x₁x₂=

2m2-6

3

∴|PQ|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

1+ 3 4

•

4m2 3 -4• 2m2-6 3

=

42-7m2 3

∵0≤m²＜6，∴m²=0，即m=0时，|PQ|max=

14

，此时l的方程为y=

3

2

x

点评：本题考查椭圆的定义与标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦长公式，考查学生的计算能力，属于中档题．