Question

（16分）已知函数
（1）求证：函数在上为单调增函数；
（2）设，求的值域；
（3）对于（2）中函数，若关于的方程有三个不同的实数解，求的取值范围．

Answer 1

（1）见解析；（2）值域为；（3）的取值范围为。

本试题主要是考查了函数的单调性和最值问题，以及函数与方程的思想的综合运用

（1）根据已知关系式设出变量，作差，变形定号得到结论。
（2）在第一问的基础上，可知分析函数的单调性得到值域。
（（3）因为由（2）可知可知其图像，然后徐结合图像，
设，则有三个不同的实数解，即为有两个根，且一个在上，一个在上，然后分析得到m的范围。
（1），设是上的任意两个数，且，……2分
则……4分
因为，∴，∴即
所以在上为增函数，                       …………………………6分
（2），
因为，所以，所以，
即  …………………………8分
又因为时，单调递增，单调递增，
所以单调递增，所以值域为    …………………………10分
（3）由（2）可知大致图象如右图所示，
设，则有三个不同的实数解，即为有两个根，且一个在上，一个在上，设     ………12分
①当有一个根为1时，
，，此时另一根为适合题意； ………………13分
②当没有根为1时，，得，∴
∴的取值范围为                        …………………………16分