Question

11．下列几个命题中真命题的序号是（2）（4）．
（1）已知函数f（x）的定义域为[2，5），则f（2x-1）的定义域为[3，9）；
（2）函数$y=\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$是偶函数，也是奇函数；
（3）若f（x+1）为偶函数，则f（x+1）=f（-x-1）；
（4）已知函数f（x）=x²+2ax+2在区间[-5，5]上是单调增函数，则实数a≥5．

Answer 1

分析 （1）由f（x）的定义域为[2，5），知2x-1∈[2，5），解出x的范围即为定义域；
（2）求出定义域可得函数为y=0，满足f（x）=f（-x），也满足f（x）=-f（-x），故是偶函数，也是奇函数，
（3）由f（x+1）为偶函数，由定义可知f（-x+1）=f（x+1）；
（4）利用二次函数的对称轴可得-a≤-5，求出a的范围即可．

解答 解：（1）∵f（x）的定义域为[2，5），
∴2x-1∈[2，5），
∴x∈[$\frac{3}{2}$，3），故错误；
（2）$y=\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$的定义域为{1，-1}，此时y=0，故是偶函数，也是奇函数，故正确；
（3）f（x+1）为偶函数，
∴f（-x+1）=f（x+1），故错误；
（4）已知函数f（x）=x²+2ax+2在区间[-5，5]上是单调增函数，
∴-a≤-5，
∴a≥5，故正确．
故正确选项为（2）（4）．

点评 考查了符合函数的定义域和奇偶性，二次函数的单调性判断．属于基础题型，应熟练掌握．