Question

设短轴长为是2

3

的椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)和双曲线

x2

a2

-

y2

a2

=1的离心率互为的倒数，过定圆E上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线l₁，l₂，且l₁，l₂与椭圆的公共点都只有一个的圆的方程为

 

．

Answer 1

分析：根据题意椭圆与双曲线的离心率互为倒数可得椭圆的方程为

x2

6

+

y2

3

=1，设出直线方程联立椭圆方程得到一元二次方程，由△=0可得关于k的方程，再结合直线l₁，l₂互相垂直且两条直线与椭圆的交点只有一个得到x₀y₀的关系即得到圆的方程，最后检验斜率不存在时也符合题意即可．

解答：解：双曲线

x2

a2

-

y2

a2

=1的离心率为

2

，于是椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

2

2

．
即a=

2

c，又由题意，2b=2

3

以及b²+c²=a²，解得a=

6

，  b=c=

3

，
椭圆C的方程为

x2

6

+

y2

3

=1．
设P（x₀，y₀）是⊙E上的任意一点，过P的直线l：y=k（x-x₀）+y₀，
代入

x2

6

+

y2

3

=1中，得

x2

6

+

(kx-kx0+y0)2

3

=1，
即（1+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+2（y₀-kx₀）²-6=0，①
若直线l与椭圆的公共点只有一个，则①中判别式△=0，
即16k²（y₀-kx₀）²-8（1+2k²）[（y₀-kx₀）²-3]=0，
整理得关于k的方程：（6-x₀²）k²+2x₀y₀k-y₀²+3=0，②
要使得⊙E上面的每一个点都可以作两条互相垂直的直线l₁，l₂，
且l₁，l₂与椭圆的公共点都只有一个，方程必须有两根且两根之积为-1，故

-y02+3

6-x02

=-1，即x₀²+y₀²=9，
又对于点(

6

，  

3

)，(-

6

，  

3

)，(

6

，  -

3

)，(-

6

，  -

3

)，直线l₁，l₂中有一条斜率不存在，
另一条斜率为0，显然成立．故这样的⊙E，方程为：x²+y²=9．
故答案为x²+y²=9．

点评：截距处理问题的关键是进行准确的运算，抓住题目的关键如垂直关系、只有一个交点，直线与圆锥曲线的综合性问题，多为把关题，是学生的学习难点也是高考的重点．