Question

13．求下列曲线的微分．
（1）y=ln（1-x²）；
（2）$\left\{\begin{array}{l}{x=a•cost}\\{y=b•sint}\end{array}\right.$；
（3）r=a•θ

Answer 1

分析 利用函数微分的公式，即可求得函数的微分．

解答 解：（1）dx=$\sqrt{1+（y′）^{2}}$dx，
而y=ln（1-x²）；
∴y′=$\frac{-2x}{1-{x}^{2}}$，
故ds=$\sqrt{1+\frac{4{x}^{2}}{（1-{x}^{2}）^{2}}}$dx=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$dx，
（2）ds=$\sqrt{（\frac{dx}{dt}）^{2}+（\frac{dy}{dt}）^{2}}$dt，
而）$\left\{\begin{array}{l}{x=a•cost}\\{y=b•sint}\end{array}\right.$，
∴$\frac{dx}{dt}$=-asint，
$\frac{dy}{dt}$=bcost，
故ds=$\sqrt{{a}^{2}si{n}^{2}t+{b}^{2}co{s}^{2}t}$dt，
（3）ds=$\sqrt{r{′}^{2}（θ）+{r}^{2}（θ）}$dθ，
而r=a•θ，r′=a，
故ds=$\sqrt{{a}^{2}+{a}^{2}{θ}^{2}}$dθ=a$\sqrt{1+{θ}^{2}}$dθ

点评 本题主要考察弧微公式和微积分基本定理，属于中档题．