题目内容

(理)如图(1)，正△ABC的边长为2a,CD是AB边上的高，E、F分别是AC、BC边的中点.现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B〔如图(2)〕.

(1)试判断翻折后直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；

(2)求二面角B-AC-D的余弦值.

(文)如图，在三棱锥P—ABC中，E、F、G、H分别是AB、AC、PC、BC的中点，且PA=PB，AC=BC.

(1)证明AB⊥PC；

(2)证明PE∥平面FGH.

(理)解：(1)∵在题图(2)中，E、F分别为AC、BC的中点，∴AB∥EF.         

而AB面DEF，EF面DEF，∴AB∥面DEF.                                  

(2)在题图(2)中，作DG⊥AC，垂足为G，连结BG.

易证△BDG为直角三角形,∠BGD为二面角B-AC-D的平面角.                 

在△BDG中，BD=a,DG=，

∴BG=a.∴cos∠BGD=.

(也可用向量法解)                                                         

(文)证明：(1)连结EC,∵△ABC为等腰三角形,

∴EC⊥AB.                                                                

又∵PA=PB,∴AB⊥PE.                                                     

∴AB⊥面PEC，PC面PEC.

∴AB⊥PC.                                                              

(2)连结FH，交EC于R.连结GR.

在△PEC中，GR∥PE.                                                     

∵PE面FHG，GR面FHG，

∴PE∥面FHG.

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