Question

如图，过抛物线y²=8x的焦点F的直线交抛物线与圆（x-2）²+y²=4于A，B，C，D四点，则|AB|•|CD|=________．

Answer 1

4
分析：由题设条件知，圆心即抛物线的焦点，结合图形可得出|AB|=|AF|-|BF|=x_A，|CD|=|DF|-|CF|=x_D，即|AB|•|CD|=x_A×x_D，再分直线AB的斜率存在与不存在两种情况讨论即可得出答案
解答：由题意，抛物线y²=8x的焦点F（2，0），圆（x-2）²+y²=4圆心为（2，0），即圆心为焦点
∴|AB|=|AF|-|BF|=x_A，|CD|=|DF|-|CF|=x_D
若直线AD与X轴垂直，此时x_A=x_D=2，故有|AB|•|CD|=x_A×x_D=4
若直线AD与X轴不垂直，此时斜率存在，可设为k，则有l_AD：y=k（x-2）
代入抛物线y²=8x整理得k²x²-4（k²+2）+4k²=0
由根与系数的关系得x_A×x_D=4
综上知x_A×x_D=4，即|AB|•|CD|=4
故答案为4
点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，抛物线的性质及圆的标准方程，解题的关键是将求|AB|•|CD|的值转化为求x_A×x_D的值