Question

已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C₁：4x²＋9y²＝36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C经过点A(2，－3)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)若PQ是椭圆C的弦，O是坐标原点，OP⊥OQ且点P的坐标为()，求点Q的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)由已知C₁：＝1得焦点₁(，0)，₂(，0)，又椭圆C与C₁的焦点F₁，F₂，，是一个正方形的四个顶点，椭圆的中心在原点．∴F₁，F₂关于原点对称，∴F₁(0，)，故设C：＝1(a＞b＞0)，

　　∵椭圆C过点A(2，－3)，∴＝1且a²－b²＝5，解出a²＝15，b²＝10，∴椭圆C的方程为：＝1．

　　(2)设Q(x₀，y₀)，则由OP⊥OQ得k_OP·k_OQ＝·＝－1，即y₀＝，又＝1，∴＝30，x₀＝±3．

　　∴点Q的坐标为(3，)或(－3，)．

　　分析：本题要求能够将题目中的对形的描述恰当地利用相关的性质转化为数，从而将问题求解，涉及有关直线与椭圆的交点问题，往往联立它们的方程消去其中一个未知数，从而利用根与系数间的关系将问题解决．