Question

【题目】设函数 ．
（Ⅰ）当 时，讨论 的单调性；
（Ⅱ）设 ，若 恒成立，求 的取值范围

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知，当 时， ，

∴ ，

∵ 在 上单调递增，且 ，

∴ 时， 时， ，

∴ 在 上单调递减，在 上单调递增．

（Ⅱ）（方法一）由题可得， ，

则 ，

∵ ，∴ 在 上单调递增， ， ，

∴ 使得 ，则 ，

由 知 ，且 时， 时， ，

∴ ，∴ ，∴ ，∴ ，

∴ 的取值范围是 ．

（方法二）由题可得 恒成立，

令 ，则 ，

∴ 时， 时， ，

∴ ，∴ ，解得： ，

∴ 的取值范围是 ．

【解析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）法一：求出g（x）的导数，得到g（x）的最小值，从而求出a的范围即可；法二：问题转化为恒成立，令,根据函数的单调性求出a的范围即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的单调性的相关知识，掌握注意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性还有单调不增，和单调不减两种．