Question

已知a>0，b>0，且a+b=1，求证：(a+)(b+)≤。

Answer 1

答案：
解析：

证法一：(分析综合法) 欲证原不等式成立，只须证明 4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0 4(ab)2－33ab+8≥0 ab≤或ab≥8 ∵a>0，b>0，a+b=1 ∴ab≥8不可能成立 ∵1=a+b≥2 ∴ab≤，从而得证。 证法二：(均值代换法) 设a=+t，b=－t(－<t<)，则 左式= 显然等号当且仅当t=0，即a=b=时成立。 证法三：(三角代换法) 设a=sin2θ，b=cos2θ，θ∈(0，)， 则左式=(sin2θ+)(cos2θ+) ∵sin22θ≤1 ∴4－sin22θ≥4－1=3 ∴(4－sin22θ)2+16≥25， 又 ∴。